SUMAS Y RESTAS... DESAFÍO 42, TERCER GRADO... empleo de transformaciones, comparaciones y suma de medidas

En este trabajo se pretende mostrar cómo dentro de los problemas que se les plantean a los alumnos en la educación primaria de México, subyacen cuestiones teóricas que el profesor debe conocer para entender por qué fallan al responder las consignas planteadas en los cuestionamientos.

Dentro de los temas de este blog, se han publicado alguno referente a los problemas de tipo aditivo. En esta ocasión buscando en los textos, se encuentra en el libro de tercer grado de desafíos matemáticos, planteamientos que permiten analizar ejercicios para resolverse empleando los pasos o estrategias que sugieren las primeras tres categorías planteados por G. Vergnaud. Se muestran para entender primero si el aspecto teórico mostrado es conocido o no por los docentes y segundo para reflexionar entonces si el alumno ha practicado lo suficiente para enfrentarse a este tipo de problemas, dicho de otro modo si conscientemente el maestro ha trabajado gradualmente desde estrategias gráficas y posteriormente actividades similares que sean resueltas con éxito y vayan encaminadas a el empleo de operaciones o algoritmos cuando contesta una prueba, tarea o examen.

Para resolver este tipo de planteamientos, el alumno debe comprender las consignas y reflexionar sobre las preguntas particulares, en ningún momento se pretende convertir en guía para resolver así las actividades. Es entendible que cada titular de grupo conoce y aplica estrategias diferentes y llega a que sus alumnos contesten correctamente este ejercicio.

En la primera pregunta, (p. 91) imagen amarilla, se pide a los alumnos que contesten tres preguntas, para ello se considera que primero debe de resolver la tercera pregunta porque es la que nos indica dos datos, (cuántas canicas tenía Alberto antes del juego y cuántas canicas después del juego) se observa un paso del tiempo en los datos… cuando empezaron, al terminar… y para ello se aplica entonces entender qué ocurrió en el transcurso, alguien obtuvo más o menos canicas, la categoría dos descrita por Verganud dice que una transformación actúa en una medida para dar lugar a otra medida, la primera medida de Alberto al iniciar es 38 canicas  y la segunda medida al terminar el juego es 53 canicas, la cantidad se trasformó positivamente para él; la cantidad de canicas que se incrementó por lógica disminuyó “durante” el juego para Enrique. La incógnita se resolvía en la transformación en ambos casos.

 Para la pregunta dos, (cuadro azul) el planteamiento sugiere hacer una comparación (categoría 3), entonces si el alumno está haciendo transformaciones, puede pensar que seguirá realizándolas. Bueno esto es una suposición, el punto es que aparentemente los problemas son similares y económicamente se resuelven ambos o con una suma o con una resta; es cierto, pero en este planteamiento no hay un devenir sino una comparación, más aun, una comparación de algo no tangible pero si medible como son años cumplidos. En la imagen se presenta el esquema, gráficamente se puede comparar colocando en un cuadro a un niño y no sé,  tal vez frente a ocho pastelitos o una línea del tiempo… como en las siguientes imágenes.

 En el tercer problema (figura de abajo), el alumno se enfrenta de nuevo a transformaciones, categoría dos, necesita resolver primero cuánto dinero tiene después que su papá le da 10 pesos si antes tenía 85. Ese “después” (cantidad) se convierte en un “antes” de ir a la tienda con su mamá porque al comprar el dinero que le sobra es después de comprar el balón que es precisamente la incógnita de la actividad. Para este tipo de ejercicios se recomienda emplear billetes de utilería…

 El último ejercicio  de la página 91 (cuadro en verde), culmina con un ejercicio donde se aprecia que se suman dos medidas para dar lugar a otra medida… en los esquemas que han sido presentando, los números dentro de los cuadriláteros representan medidas, no son ni positivos, ni negativos… mientras los escritos en círculos son relativos, y éstos sí son o positivos, o negativos. Bien la solución nos muestra, y el alumno debe entender que esta sumando elementos que están en un mismo universo, en un todo… aunque se tengan que distinguir sus partes: frutas + verduras igual a canasta de alimentos. Este esquema de la primera categoría es el que comúnmente se enseña en las aulas y con esa explicación se pretende que los niños resuelvan planteamientos donde están presentes las otras categorías. (cfr. Chamorro; Vergnaud; Nunes y Bryant).

La pregunta sin embargo pide que se diga con cuánto dinero terminó la compra, entonces el dinero que pago de los alimentos pasa de ser una medida a representar un número relativo en el segundo paso ya que se requiere una transformación. Se inicia con 90, el durante es el dinero gastado y la respuesta está en la segunda medida… como se aprecia en la imagen anterior… qué lío para el niño, ¿verdad?

 Los desafíos de sumas y restas continúan en la página 92, antes del ejercicio que está en el cuadro rosa, está un crucigrama el cual omitimos en este análisis. el ejercicio presentado al final de la página, es bastante interesante, se sugiere resolverlo en tres pasos, es rico porque en el primero es una larga transformación (categoría dos) en tres momentos; así encontramos respuesta a la primera pregunta. La respuesta a la segunda pregunta es mediante la suma de dos medidas (categoría uno). Y la respuesta a la tercera pregunta sugiere hacer una comparación (categoría tres)

Esta última imagen nos ayudaría a entender la comparación de manera gráfica.

Podemos entonces afirmar que es necesario entender los aspectos teóricos dentro de la suma y resta (problemas aditivos) para poder apoyar a los niños cuando se enfrentan a estos desafíos. Apoyarnos en imágenes, material concreto y cualquier recurso que permita comprender al niño cuando une dos medidas... en qué momento necesita hacer trasformaciones o si necesita hacer comparaciones para encontrar la respuesta a los cuestionamientos.

Los problemas de tipo aditivo... una relación une dos medidas, comparación de medidas

Figura 1

A diferencia de la segunda categoría, esta tercera categoría propuesta por Verganud debe ser analizada para entender que la unión de dos medidas se establece mediante una relación; es decir, comparando dos medidas distintas o cantidades se puede establecer una respuesta encontrando la relación estática y no una transformación o proceso de devenir como se aprecia en las categorías uno y dos. Veamos pues relación y comparación para este caso como una misma cosa.

Seis subtipos se establecen al plantear problemas en esta categoría. Recordando que en la primera se encuentran dos y en la segunda seis, entonces catorce formas de plantear problemas son las que hasta el momento debe dominar el docente para poder aplicarse a los alumnos, lo que lleva a preguntarse si son trabajadas con conocimiento de causa o si con el supuesto de enseñar el algoritmo convencional es suficiente para que el niño entienda todas las implicaciones alrededor de los problemas de tipo aditivo.

Una característica es cuando al analizar el problema, el alumno debe entender que el elemento principal o medida es igual, o se está hablando de canicas,  o años, o edad,  o dulces, o hermanos... y a la vez comparando entre dos elementos de la misma especie pero distintos entre ellos, se espera que en los ejemplos se entienda esto.

La incógnita y la comparación

En los libros de texto encontramos ejercicios para entender esta categoría, la imagen plantea primero comprender cuántas tortugas tiene Raquel (medida 1) y cuántas Bernardo (medida 2), Este problema debido al grado el docente podría trabajarlo  de manera oral y la estrategias pueden ser múltiples... hacer relación uno a uno tachando, o uniendo y observar cuántas tortugas quedaron sin tachar en uno de los cuadriláteros.

En el caso la pregunta esta planteada así: ¿Quién tiene más tortugas? Se respondería que Raquel, replanteando puede preguntarse a los alumnos: Bernardo tiene 40 tortugas, 3 menos que Raquel, ¿cuántas tortugas tiene Raquel?... 

Aquí se plantea la incógnita en el primer número, el más grande y la comparación o relación es negativa. 

Una comparación negativa, donde la incógnita esta en la misma comparación se daría si la pregunta estuviera planteada de la siguiente manera; Raquel tiene 43 tortugas, Bernardo 40, ¿qué cantidad de tortugas tiene Bernardo menos que Raquel?

Como ya se mencionó, al igual que la segunda categoría, aquí se generan 6 tipos de preguntas, dependiendo en el esquema donde se encuentra la incógnita y si la relación es positiva o negativa.

Cambiando las preguntas se podría redactar un desafío de la siguiente manera: En El Tapextle hay 12 alumnos más que en El Amole, si en El Amole están inscritos 23 niños, ¿cuál es la cantidad total de alumnos en El Tapextle?... Se establece una comparación positiva y se pregunta sobre la medida grande... La incógnita ya sea en las medidas o cantidades y la comparación positiva o negativa es lo que nos da los seis tipos de preguntas, quien lo debe de entender, el docente; el alumno en su repetición de ejercicios similares se apropiará y diferenciará las categorías.

¡ MMM... PÓSTRES!..... DESAFÍO MATEMÁTICO 22, SEXTO GRADO

Este desafío nos maneja porcentajes, para ellos y mediante la sugerencia que aquí se plasma, se pretende solucionar las tareas que plantea realizando el mínimo de operaciones o algoritmos. La primera actividad nos pide que se obtengan los datos para la tabla que se muestra en la segunda figura, pero antes en la primera imagen se elabora una tabla en la parte izquierda de la gráfica circular donde se obtienen los porcentajes que se manejan, estos son 10%, 15%, 20% y 25.

Para realizar lo anterior se crean dos columnas y en una se indica donde se escribirán las cantidades que representan porcentajes, la segunda donde representan dinero. Si el total vendido es 7,200 pesos, entonces sin hacer operaciones y sólo mediante la eliminación o recorrido del último dígito a esta cantidad se obtiene el 10%, con eso ya encontramos cuánto es en dinero ese porcentaje... para mejor comprensión, se anexa la segunda imagen frente a este párrafo.

Volviendo a la primera imagen, podemos entonces obtener el 5%, sería la mitad de 720... entonces 360 representa ese porcentaje; el obtener esa cantidad nos permite como se aprecia en la misma primer imagen que sumando la cantidad del 10% más el 5% obtenemos el 15% que es 1,080 pesos. Al lado derecho se en la primera imagen se muestra cómo se obtuvo el 20% que fue 1440 pesos y si se suma 360 que es el 5% se obtiene 1800 pesos o el 25% como se quiera entender. Con dichos datos y analizando la forma en cómo se obtuvieron los datos, se puede contestar la tabla.

La tabla nos pide que dependiendo ya sea del precio del producto, qué cantidad (del mismo producto) se vendió. Para eso tenemos que recordar a cuánto equivalen los porcentajes ya despejados en la primera figura. si la gráfica nos dice que el elote representa un 20% de la cantidad vendida, en este caso 1440 pesos, entonces lo que nos interesa saber es si el precio de cada elote está a 72 pesos, cuántos elotes se vendieron para llegar a esa cantidad (1440). en la figura de arriba al lado izquierdo vemos que necesitamos entonces multiplicar 72 por la cantidad de elotes vendidos (incógnita) para obtener 1440 (que representa el 20% del total vendido). Para despejar entonces debemos realizar una división, observen el lado derecho de la figura, la división de 1440 entre 72 igual a 20. Verificando 72 por 20 igual a 1440.

Así se resuelve dicha tabla... ojo, no es trabajo de un día, se sugiere hacerlo en varias sesiones... el ejercicio tiene continuidad en la página 43 del libro de desafíos, pero con este primer acercamiento considero se pueden resolver las siguientes tareas. 

Espero sugerencias...

EL EQUIPO DE CAMINATA... DESAFÍO N° 8, SEXTO GRADO

Un interesante ejercicio nos presenta el libro de desafíos matemáticos para sexto grado de educación primaria, nos muestra una tabla para ser llenada según la consigna. Nos indica que el circuito es de 4 kilómetros... entonces una vuelta va a ser igual a 4 km.

Como ya está dado el primer dato, se procede a anotar debajo del número 1 en la tabla el número 4 que es la distancia recorrida por Rosa; conociendo lo anterior, entonces dos vueltas (4 + 4) serian lo mismo a 8 km, que es la distancia que recorrió Juan; Alma tiene registrado 5 vueltas, si en la tabla observamos que 2 vueltas es igual 8 km, otras dos vueltas completaríamos 16 km y 1 vuelta esta marcada con 4 km serían las 5 vueltas y el recorrido de 20 km; finalmente, si 1 vuelta es igual a 4 km, media vuelta, que es el recorrido de Pedro serían 2 km.

Hasta este momento con esas sencillas inferencias se puede establecer dichos resultados, para los siguientes deben de ser igualmente útiles los datos ya conocidos, por ejemplo, si 1/2 de circuito equivale a 2 kilómetros, entonces 1/4 de circuito más que es otro kilómetro completaría un recorrido de 3/4 de circuito, así sabemos que Víctor recorre 3 kilómetros, la misma distancia que Irma, 3/4 = 0.75.

Hasta el momento, se ha tratado de encontrar respuesta con los datos que van surgiendo, siendo así la estrategia, para resolver la distancia que recorrió Adriana, primero entendemos que el número decimal .25 es equivalente a la fracción 1/4; al haber establecido que 1/4 de recorrido corresponde a 1 kilómetro... implica que 1 vuelta (4 k) y 0.25 de vuelta (1 k) nos arroja 5 kilómetros, lo que alcanzó a caminar Adriana. Para despejar lo que caminó Eric, debemos recurrir a entender que si el circuito ya lo tenemos establecido en cuartos como la figura de arriba y para cada cuarto de circuito, equivale a 1 kilómetro, podemos entender que la mitad de 1/4 es 1/8... cada octavo representaría por tanto 1/2 kilómetro de distancia. Eric da 2 vueltas y en la tabla observamos que Juan da 2 vueltas igual a 8 kilómetros, ahora nos apoyamos en la figura del circuito abajo y observamos que 7/8 equivalen en distancia a 3.5 kilómetros, sumados a los 8 kilómetros de 2 vueltas es un total de 11.5 k.

Para encontrar solución a los recorridos de los siguientes niños, se debe recurrir a otras estrategias, por ejemplo para ver cuánto recorrió Silvio se propone a través de un operador, que consiste en multiplicar la fracción 4/5 entre la distancia del circuito, tal como se observa en la figura de enfrente, el primer paso es multiplicar el entero (5) por el numerador de la fracción (4) y el resultado que fue 16 entre el denominador de la fracción (5), el resultado de la división correspondería a la distancia que recorrió el niño.

Dejamos para el final a Luis y María, al resolver la distancia que caminó Luis, se resuelve la de María ya que ella camino el doble. Nos dice que el niño caminó 1.3 del circuito, para despejar el uno sabemos que una vuelta es igual a 4 k, ahora se busca establecer que distancia es 0.3, con operador multiplicativo, se debe trasformar a fracción y esta sería 3/10 o ir directamente a dividir 4 entre 10 y multiplicar el cociente tres veces para saber cuánto es 0.3; la cuestión es que cualquier camino debe ser válido y es el alumno al final el que debe analizar cómo le conviene trabajar. Ya establecido que Luis recorrió 5.2 kilómetros, el doble de la distancia sería lo que habría recorrido María como se observa en la tabla.

Un buen desafío tanto para el maestro como alumnos encierra este ejercicio, el alumno debe tener ciertos conocimientos previos y el maestro ser capaz de despejar las dudas que los niños tengan.
  

DESAFÍOS MATEMATICOS... 32 EL IVA, SEXTO GRADO

Se encuentra en el libro de desafíos matemáticos de sexto grado una lección muy interesante, la marcada con el número 32, se observa en la tarea que se pide encontrar el precio del iva (impuesto al valor agregado) a ciertos productos. La actividad se remite a establecer una serie de pasos para encontrar la incógnita que se plantea, además introduce el uso de la calculadora para auxiliar en la búsqueda de la solución.

La imagen 1, donde se pretendió sugerir una forma de razonamiento para el problema, está de la manera siguiente: se analizan los datos o cantidades, para ello se elabora una tabla donde se organizan dichos datos, en la primera columna se establece que es para las cantidades de dinero y la segunda para los porcentajes. La pregunta 1, nos señala que una refacción vale 240 pesos, entonces esa cantidad se anota en la primera columna, la segunda columna ya tiene establecidos los números 100, 16 y 116; al alumno se debe explicar que la cantidad total del producto es un 100% y se entiende que es sin iva, el 16 establece precisamente el iva y el 116 la suma del producto ya con iva.

La figura 2 es más explícita, una primera sugerencia es que mediante la conocida regla de tres se busque la respuesta, tres datos conocidos mediante primero la multiplicación de los productos cruzados y el resultado entre el dato que se encuentra en el mismo nivel o enfrente... en este caso 116 X 240 es igual a 27840 y lo anterior dividido entre 100 es 278.40, ya se despeja la incógnita y recuerda que puedes emplear la calculadora, la imágenes son ilustrativas para entender el proceso... pero si lo que buscas es que aprenda a encontrar el iva que es el 16% y después se lo sume a la cantidad inicial o precio de la herramienta es el mismo proceso sólo que ahora tienes dos incógnitas, la primera cuánto es el 16% de 240 y la segunda, cuánto es la suma del precio, 240 y el iva para poder responder la pregunta planteada: ¿Cuál es el precio de la refacción con IVA?

Entonces, se multiplica 16 por 240, su resultado es 3840, ahora esta cantidad se divide entre 100 y el resultado es 38.40 (primera incógnita), sabiendo que la herramienta vale 240 y sumando el iva 38.40 nos da 278.40 (segunda incógnita) que es la cantidad que responde a la pregunta y que ya habíamos encontrado en el primer proceso.

Como nos indica en las instrucciones que se puede auxiliar de la calculadora, se puede ir directo a buscar el resultado con la siguiente secuencia oprimiendo las teclas 2,4,0,+,1,6,%,=,enter.

La segunda actividad cuenta con la incógnita distinta a la primera tarea, aquí el alumno debe entender que cuando se le plantea una tarea o enfrenta una situación en un comercio donde se le dice que el producto que compra tiene el iva incluido, debe entender que está observando el precio con el 116 por ciento .

La incógnita se traslada como se ve en la imagen de enfrente y la secuencia es 100 por 415.28 que da 41528, se divide entre 116 y se obtiene 358 que responde a la pregunta planteada, como en la actividad anterior se puede comprobar pero el resultado sería el mismo.

Por qué aquí no se puede comprobar con la calculadora restar a 415.28 el 16%... porque la calculadora tomaría dicha cantidad como un cien por ciento y nos daría un resultado diferente, recordar que es un 116% y no un 100%. Pero ya sabedores de que el precio sin iva es 358, comprobar (en la calculadora) que oprimiendo la secuencia de teclas 3,5,8,+,1,6,%,enter...  se llega al resultado.

LA INFORMACIÓN EN LOS PORCENTAJES... LECCIÓN 10 DE SEXTO GRADO

La lección 10 del libro de matemáticas de sexto grado busca que el alumno mediante diversos procedimientos calcule el porcentaje de cantidades. Al principio parece un ejercicio sencillo, pero al estarlo abordando se puede dar cuenta de la riqueza que encierra para resolver las tareas allí planteadas.

El ejercicio plantea una situación hipotética de préstamos. El alumno con los conocimientos previos podrá darse una ideas de cuánto dinero se debe de pagar en diversos casos.

En la figura dos que es en este caso la parte baja de la hoja número 39 del libro, nos muestra una tabla donde se tendrá que mostrar estrategias con los datos que obviamente deberá extraer de la figura uno que corresponde a la parte superior en la misma página.

Sabiendo que el interés mensual es del 4% o como lo dice el cartelón "paga sólo $4 por cada $100 al mes", el primer renglón de la tabla se complementa anotando precisamente el número cuatro como se observa en la figura dos. 

Ese mismo dato nos auxilia para encontrar el interés a la cantidad 200, si para 100 se pagan 4 pesos, entonces otros 4 pesos completan el interés de 200, 8 pesos sería ese interés.

Ya tenemos dos renglones resueltos, eso permite que sumando dos veces los intereses de 200 que es 8 + 8 = 16 pesos más 4 pesos de los intereses de 100 pesos da total de 20 pesos como lo muestra la imagen. Con dicha estrategia, se puede resolver el resto ya que sumando los datos conocidos se logra encontrar el interés para el resto de las cantidades. En el penúltimo y último renglón de la tabla se debe tener cuidado, se entiende que son 4 pesos de interés por 100 pesos y por 25 sería 1, por 50 son 2 de interés que ya se habían obtenido en el renglón nueve al calcular el interés que se debe de pagar por 150... 4 por 100... 2 por 50...

La lección 10 continúa en la página 40 y en ella encontramos que se pide entender el proceso para otorgar el 10% a una cantidad. El ejemplo inicia nos dice que Luis vende un sarape en 100 pesos, el descuento es 10 pesos que precisamente es el 10% de 100, este planteamiento se debe aclarar muy bien para que el alumno no tenga dudas en las siguientes tareas, para contestar lo que se debe anotar en los recuadros de Ana y Javier, se debe entender que se debe dividir entre 10 el donde hay precio, así para Javier el 10% de 80 son 8 pesos y se puede calcular sin complicación, lo mismo para Ana, el 10% de 140 son 14 y el mismo proceso se usa en la venta de aretes que hace Luis. Pero para la venta de aretes de Ana y Javier se proporciona la cantidad a descontar, sabiendo que es el 10 por ciento en este caso se multiplica la cantidad por 10 y así se sabe que el precio inicial es 60 pesos. Los precios rebajados en dichos casos se obtienen restando al precio la cantidad a descontar, donde se complica para el alumno es cuando se da el precio a rebajar y se tiene que encontrar el precio y descuento, para ello se propone en la figura de arriba dos opciones que es la conocida regla de tres simple o la búsqueda de equivalencia entre dos números anotados como fracción (que no la es, en este caso, es simplemente estrategia para encontrar una solución).

Finalmente la última tabla de la lección nos indica que se encuentre el descuento a un mismo artículo, si ya indica que 13 pesos es el 10%, entonces tomando lo realizado en la tabla anterior 13 por 10 da 130 que es la cantidad total. Se comprueba con los datos que se encuentran en el segundo renglón de la figura 4, al restarle 15.60 a 130.00 pesos resulta 114.40.

Comprobado lo anterior se puede recurrir a la estrategia aplicada en la primera tabla, con los datos conocidos buscar respuestas para el llenado de la tabla. Siendo cierto que 15.60 es el 12% de descuento, entonces la mitad sería el 6%, así encontramos que 7.80 es la respuesta y enseguida se resta a 130.00 el resultado es 122.20.

Con la suma del descuento del renglón 1 y 2... 7.80 y 15.60 se encuentra respuesta al tercer renglón... 6% más 12% da el 18% y... 23.40 que restados a 130 nos da el resultado escrito en el cuadro. para encontrar el 30% sólo se recuerda que el dato conocido es que 13 pesos es el 10%, entonces tres veces esa cantidad nos arroja el 30% igual a 39.00.

Con la observación e imaginación se resuelve el ejercicio, los datos allí están, espero sus comentarios... como agregado a manera de comentario, este ejercicio es el mismo que viene en el libro de desafíos matemáticos para sexto grado denominado Prestamos con intereses, compárenlo... 

Los problemas de tipo aditivo… transformación de medidas, segunda categoría

Los problemas de tipo aditivo… transformación de medidas, segunda categoría

La segunda categoría de relaciones aditiva que trabajó Vergnaud es cuando una transformación opera sobre una medida para dar lugar a otra medida. Contrastando lo que dice Belmonte quien es mencionado anteriormente en la explicación de la primera categoría, nos dice que “Se trata de fenómenos en los que se produce una modificación en el devenir cronológico de los estados de las medidas, pasando de un estado inicial (m₁) a un estado final (m₂) mediante una transformación (t).

El trabajo dentro de las aulas debe ser con números que puedan representarse o trabajarse sin mucha dificultad para los infantes, recordando como dice Nunes y Bryant que los números tienen sentido cuando se refieren a objetos. Lo importante es que entiendan que dentro del análisis a los planteamientos escritos, vaya la comprensión lectora al problema y tareas que implica se entienda que es un fenómeno en un espacio de tiempo sea ficticio o real donde se perciba claramente  un inicio, un proceso y un final; el proceso es precisamente esa transformación que se requiere para completar la relación estructural en el los momentos que sugiere el desafío.

Los seis clases o tipos que arroja la segunda categoría ya se han ejemplificado, aquí se retoman para entender precisamente ese aumento o disminución que pueden ocurrir en cualquiera de los estados inicial y final o en el propio proceso de transformación. En los ejemplos que la literatura nos da, acude a situaciones como ver medidores de bombas de gasolina o datos de censos, vamos a intentar con problemas que se apeguen a lo inmediato que puede ver un alumno de un medio rural y que estudia en una escuela multigrado como lo son la mayoría de las escuelas en nuestro país particularmente en el estado de Durango.

Es más fácil resolver problemas de la categoría uno porque sólo implica comprender la relación que hay en el universo del problema cuyas partes componen ese todo. En la segunda categoría como ya se dijo hay seis clases y la clase o tipo 1 es la aplicación de una transformación (aditiva) a una medida inicial para encontrar la respuesta que estará en la medida final  y es similar a la clase 4, la diferencia se encuentra únicamente en que la transformación es sustractiva y cuando se trata de quitar es necesario que la medida inicial sea mayor.

La clase 2 y 5 implican mayor concentración para su solución, en este tipoa y c, entonces b es diferencia entre c y a, la sustracción estaría entrando dentro de las complejidades que hay dependiendo de la problematización que se haga.

de problemas, se conoce la medida inicial y final, la transformación aditiva en la clase 2 será sustractiva en la clase 5 pero además allí es donde se buscará respuesta a la pregunta planteada. Al estar la incógnita en la transformación, el docente debe prever que la complejidad aumenta y dar pistas que en el añadir para el tipo 2 y quitar para el tipo 5 mentalmente podrán simbolizar ese paso temporal del estado inicial al final; es decir complementar. Se podría establecer el resultado mediante una diferencia ya que si b es complemento entre

El tipo 3 y 6 para enunciar estos tipos, citaré a Vergnaud que confrontado con Belmonte es prácticamente lo mismo:

“El cálculo relacional, que implica la solución de problemas de la clase 3 y 6 es todavía más complejo, ya que la solución canónica (válida en todos los casos) implica la inversión de la transformación directa y el cálculo del estado inicial por la aplicación del estado final de dicha transformación inversa…

Proponen como estrategia el complemento, lo que hay que añadir a b para encontrar c (únicamente si se puede hacer cálculo mental y es positivo)  y  el estado inicial hipotético. A un estado inicial (hipotético) aplicarle la transformación directa, encontrar el estado final y corregir la hipótesis inicial.

Y concluyen que estas clases (las seis) no son homogéneas… la complejidad no se puede atribuir al tipo que pertenecen sino también al tipo de información, el orden y la escritura de números complejos que puedan hacer más difícil un problema de tipo 1 a uno de tipo 3 aunque la teoría diga que es lo contrario.

Libro de matemáticas primer grado

Ejemplos para las clases o tipos.

Para la clase 3  (transformación aditiva) podemos crear problemas como:

• A la huerta de don Pedro en Borbollones el último año se le plantó 50 manzanos, actualmente tiene 250 manzanos, ¿Cuántos manzanos tenía antes de la última plantación de árboles?
• En la huerta de don Pedro hay 250 manzanos, si se plantaron 50 últimamente, ¿cuántos manzanos había inicialmente?

Se puede trabajar estrategias como complementar, para eso se requiere que los números se presten al cálculo y la transformación positiva, entonces un alumno de sexto o quinto pude sumar 200 y 50 y entender que 200 es el número que se busca. Por estado inicial hipotético, puede decir que antes había 100 ó 200 e ir añadiendo (de 50 en 50) hasta encontrar 250. O finalmente entender que se puede hacer una sustracción al estado final menos la transformación; si nos fijamos la transformación es positiva entonces podemos hacer una resta.

La clase 6 (transformación sustractiva) la podemos ejemplificar así:

• En el grupo de cuarto grado de la escuela “Gral. Francisco Villa” de El Salto, Dgo., se han dado de baja 13 alumnos, si para final de ciclo terminaron 58, ¿Qué cantidad de alumnos había al inicio del ciclo escolar?

 El estado hipotético inicial podría arrancar en 100, recordando que aquí estamos ejemplificando posible estrategia, hasta llegar a un resultado cercano y encontrar la respuesta como lo explica la imagen. Al problema no se observa estrategia de complementación ya que la transformación es negativa. La segunda estrategia es realizar pero una adición, al estado final se suma la transformacional; la transformación es negativa pero para efecto de encontrar la respuesta se añade 13 a 58 para llegar al 71; mientras que en el ejemplo para la clase 3 a  250 se quita 50 (aunque la transformación es positiva) aquí se suma aunque la transformación del esquema es negativa pues se parte del estado final al estado inicial estratégicamente para encontrar una solución... complejo para el niño, verdad... 

Para el tipo 2 (transformación positiva) se plantean el siguiente ejemplo:

• Cruz fue a Palmarito a comprar cabras  y así diversificar su ganado, si ahora tiene 240 y antes contaba con 160, ¿Qué cantidad de cabras compró en Palmarito?

El tipo 5 (transformación negativa)

• Los ejidatarios de La Campana cortaron este mes pinos en el predio de don Luis, si el mes pasado había 120  y este mes quedan 85, ¿Cuántos pinos son los que cortaron?

En ambos se puede llegar bajo el mismo procedimiento, complementar en el ejemplo del tipo 2 y en el tipo 5 ir restando al estado inicial hasta encontrar el estado final... en ambos la incógnita o respuesta que se busca esta en la transformación. Para ambas también se llega mediante la sustracción cuidando que esta se pueda efectuar colocando en primer lugar la medida mayor.

Para el tipo 1 y 4 que son los que menos dificultad ofrecen, se debe de seguir el movimiento temporal del antes  que es la medida inicial, durante que es la transformación para encontrar el después o estado final que nos daré la medida final y la repuesta por ser donde se encuentra la incógnita. Los ejemplos son:

• La ruta de pasajeros que sale de Neveros partió con 13 personas, en las diferentes paradas antes de llegar El Salto subieron 12, ¿Cuántos llegaron a El Salto? (TRANSFORMACIÓN POSITIVA)
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• El maestro de Las Adjuntas recibió 60 lápices para que los regale a los alumnos, ya dio 20 a los alumnos de segundo, ¿Qué cantidad de lápices le queda? (TRANSFORMACIÓN NEGATIVA)

Quedan así ejemplificadas las seis clases de la categoría dos y sólo espero que haya comentarios al respecto con el afán de mejorar.